Question

17．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，E為BC中點．
（1）求證：C₁D⊥D₁E；
（2）若二面角B₁-AE-D₁的大小為90°，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能證明C₁D⊥D₁E．
（2）求出平面AD₁E的法向量和平面B₁AE的法向量，由二面角B₁AED₁的大小為90°，能求出AD的長．

解答 證明：（1）以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
設AD=a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），
B₁（a，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），E（$\frac{a}{2}$，1，0），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（$\frac{a}{2}$，1，-1），
則$\overrightarrow{{C}_{1}D}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=0，
∴C₁D⊥D₁E．…．（5分）
解：（2）設平面AD₁E的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{a}{2}$，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-a，0，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=-\frac{a}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}=-ax+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得平面AD₁E的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，a，2a），…..（8分）
設平面B₁AE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x′，y′，z′），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{a}{2}$，1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=-\frac{a}{2}{x}^{'}+{y}^{'}=0}\\{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{m}={y}^{'}+{z}^{'}=0}\end{array}\right.$，取x′=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，a，-a）．…..（10分）
∵二面角B₁AED₁的大小為90°，
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4+a²-2a²=0，
∵a＞0，∴a=2，即AD=2…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．