Question

14．已知橢圓曲線方程為${x^2}+\frac{y^2}{n}=1（n∈R）$，兩焦點分別為F₁，F₂．
（1）若n=-1，過左焦點為F₁且斜率為$\sqrt{3}$的直線交圓錐曲線于點A，B，求△ABF₂的周長．
（2）若n=4，P圓錐曲線上一點，求PF₁•PF₂的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出|AB|，利用雙曲線的定義，即可求△ABF₂的周長．
（2）若n=4，P圓錐曲線上一點，PF₁+PF₂=4，設PF₁=x，x∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]，PF₁•PF₂=x（4-x）=-（x-2）²+4求，即可PF₁•PF₂的最大值和最小值．

解答 解：（1）若n=1，方程為x²-y²=1，則直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{2}$）．
聯立x²-y²=1，可得2x²+6$\sqrt{2}$x+7=0，∴|AB|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{（-3\sqrt{2}）^{2}-4×\frac{7}{2}}$=4，
據雙曲線定義，2a=|AF₂|-|AF₁|=|BF₂|-|BF₁|，
∴4a=|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=4，
∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=12；
（2）若n=4，方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴PF₁+PF₂=4，
設PF₁=x，x∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]，
∴PF₁•PF₂=x（4-x）=-（x-2）²+4，
∴PF₁•PF₂的最大值為4，最小值為1．

點評 本小題主要考查橢圓的定義，雙曲線的定義、雙曲線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．