Question

5．在△ABC中，D為BC邊上的中點，P₀是邊AB上的一個定點，P₀B=$\frac{1}{4}$AB，且對于AB上任一點P，恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，則下列結論中正確的是①②⑤（填上所有正確命題的序號）．
①當P與A，B不重合時，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{PD}$共線；
②$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overline{P{D}_{2}}$-$\overrightarrow{D{B}_{2}}$；
③存在點P，使|$\overrightarrow{PD}$|＜|$\overrightarrow{{P}_{0}D}$|；
④$\overrightarrow{{P}_{0}C}$•$\overrightarrow{AB}$=0；
⑤AC=BC．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用平面向量的加減運算及數量積運算逐一分析5個命題得答案．

解答 解：∵D為BC邊的中點，∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，故①正確；
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\overrightarrow{PD}$²-$\overrightarrow{DB}$²，故②正確；
由題意可得$\overrightarrow{{P}_{0}B}•\overrightarrow{{P}_{0}C}$=${\overrightarrow{{P}_{0}D}}^{2}-{\overrightarrow{DB}}^{2}$，由已知$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$恒成立，
得${\overrightarrow{PD}}^{2}≥{\overrightarrow{{P}_{0}D}}^{2}$，即|$\overrightarrow{PD}$|≥|$\overrightarrow{{P}_{0}D}$|恒成立，故③錯誤；
注意到P₀，D是定點，∴P₀D是點D與直線上各點距離的最小值，則P₀D⊥AB，故$\overrightarrow{{P}_{0}D}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
設AB中點為O，則CO∥P₀D，故④錯誤；
再由D為BC的中點，CO為底邊AB的中線，且CO⊥AB，∴△ABC是等腰三角形，有AC=BC，故⑤正確．
綜上可知，①②⑤正確，
故答案為：①②⑤．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查命題的真假判斷與應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，是中檔題．