Question

19．已知函數f（x）=lnx+$\frac{1}{x}+1，g（x）=x+\frac{1}{x}（{x＞0}）$．
（1）求證函數f（x）與g（x）有相同的極值，并求出這個極值；
（2）函數h（x）=f（x）-ag（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），若h（x₁）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，得到函數的極值即可；
（2）求出函數h（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，得到函數的極值點，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
令f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=0，解得：x=1，
x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（1，+∞）時，f（x）遞增，
∴f（x）在x=1處取得極小值，且極小值f（1）=2，無極大值，
令g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，解得：x=1（x=-1舍去），
∴當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
∴g（x）在x=1處取得極小值，且極小值g（1）=2，無極大值，
故兩個函數有相同的極小值點x=1，且所求的極小值是2；
（2）h（x）=f（x）-ag（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-ax-$\frac{a}{x}$，其定義域是（0，+∞），
則h′（x）=$\frac{-（x-1）（ax+a-1）}{{x}^{2}}$，
a=0時，h′（x）=0僅有1個解，x=1不合題意，
當a≠0時，令h′（x）=0，解得：x=1或x=$\frac{1-a}{a}$，
由題意得：$\frac{1-a}{a}$＞0，且$\frac{1-a}{a}$≠1，∴a∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1），
此時，h（x）的兩個極值點分別是x=1和x=$\frac{1-a}{a}$，
當a∈（0，$\frac{1}{2}$）時，$\frac{1-a}{a}$＞1，∴x₁=1，x₂=$\frac{1-a}{a}$，h（x₁）=h（1）=2-2a，
而當2-2a∈（1，2），又h（x₁）＜m恒成立，則m≥2，
當a∈（$\frac{1}{2}$，1）時，$\frac{1-a}{a}$＜1，∴x₁=$\frac{1-a}{a}$，x₂=1，
h（x₁）=h（$\frac{1-a}{a}$）=ln$\frac{1-a}{a}$+2a，
設ω（a）=ln$\frac{1-a}{a}$+2a，則ω′（a）=-$\frac{{2（a-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}{a（1-a）}$＜0，
∴ω（a）在（$\frac{1}{2}$，1）上是減函數，ω（a）＜ω（$\frac{1}{2}$）=1，
∴h（x₁）=ln$\frac{1-a}{a}$+2a＜1，
又h（x₁）＜m恒成立，則m≥1，
綜上，實數m的范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．