Question

8．如圖多面體ABCD中，面ABCD為正方形，棱長AB=2，AE=3，DE=$\sqrt{5}$，二面角E-AD-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且EF∥BD．
（1）證明：面ABCD⊥面EDC；
（2）若直線AF與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$，求二面角AF-E-DC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通過證明AD⊥DE，AD⊥DC，推出AD⊥平面EDC，得到面ABCD⊥面EDC．
（2）說明∠EDC是二面角E-AD-C的平面角．以O為坐標原點，$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OE}$方向為x，y，z軸正方向建立直角坐標系O-xyz．求出相關點的坐標，ABCD的一個法向量為：$\overrightarrow{k}$=（0，0，1），設直線AF與平面ABCD所成角為θ，利用向量的數量積求解即可．求出面AEF的法向量，面EDC的一個法向量，利用空間向量的數量積求解二面角AF-E-DC的余弦值．

解答 （1）證明：∵AB=2，AE=3，$DE=\sqrt{5}$∴AD²+DE²=AE²∴AD⊥DE
又ABCD為正方形，∴AD⊥DC，
從而AD⊥平面EDC，
于是面ABCD⊥面EDC．…4分
（2）解：由（1）知AD⊥DE，AD⊥DC，
∴∠EDC是二面角E-AD-C的平面角．
作EO⊥DC交DC于O，則AO=DEcos∠EDO=1，
且EO⊥面ABCD．取AB中點M，則OM⊥DC．…6分
以O為坐標原點，$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OE}$方向為x，y，z軸正方向建立直角坐標系O-xyz．
于是，E（0，0，2），D（0，-1，0），B（2，1，0），A（2，-1，0）；
得$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{AE}=（-2，1，2）$，$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{DB}=（2λ，2λ，0）$；
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=（2λ-2，2λ+1，2）$，
又面ABCD的一個法向量為：$\overrightarrow{k}$=（0，0，1），
設直線AF與平面ABCD所成角為θ，
則$Sinθ=|Cos＜\overrightarrow{AF}，\vec k＞|=\frac{2}{{\sqrt{{{（2λ-2）}^2}+{{（2λ+1）}^2}+4}}}=\frac{2}{3}$
得λ=0（舍去）或$λ=\frac{1}{2}$，…9分，
∴$\overrightarrow{AF}=（-1，2，2），\overrightarrow{EF}=（1，1，0）$，
設面AEF的法向量為$\vec n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{AF}=0\\ \vec n•\overrightarrow{EF}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-x+2y+2z=0\\ x+y=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=-y\\ z=-\frac{3}{2}y\end{array}\right.$
取y=2，∴$\vec n=（-2，2，-3）$；
又面EDC的一個法向量為$\vec i=（1，0，0）$，
∴$Cos＜\vec n，\vec i＞=\frac{\vec n•\vec i}{|\vec n||\vec i|}=-\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$…11分
又二面角AF-E-DC為銳角，所以其余弦值為$\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$…12分．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力計算能力．