Question

4．已知球內接正四棱錐P-ABCD的高為3，AC，BC相交于O，球的表面積為$\frac{169π}{9}$，若E為PC中點．
（1）求異面直線BP和AD所成角的余弦值；
（2）求點E到平面PAD的距離．

Answer 1

分析 由已知球的表面積求出球的半徑，再由棱錐的高可得球心到正四棱錐底面中心的距離，求解三角形得正四棱錐的底面邊長．
（1）找出異面直線BP和AD所成角，求解三角形可得異面直線BP和AD所成角的余弦值；
（2）利用等積法求點E到平面PAD的距離．

解答 解：由球的表面積公式S=4πR²，得球的半徑$R=\frac{13}{6}$，
設球心為O₁，在正四棱錐P-ABCD中，高為PO，則O₁必在PO上，
連AO₁，則${O_1}O=\frac{5}{6}，A{O_1}=\frac{13}{6}$，
則在Rt△O₁OA，有$OO_1^2+O{A^2}={O_1}{A^2}$，
即OA=2，可得正方形ABCD的邊長為$2\sqrt{2}$，
側棱$PA=\sqrt{O{P^2}+O{A^2}}=\sqrt{13}$．
（1）在正方形ABCD中，BC∥AD，∠PBC是異面直線BP和AD所成的角或其補角，
取BC中點M，在等腰△PBC中，可得PM⊥BC，斜高$PM=\sqrt{11}$，
則在Rt△PMB中，$cos∠PBC=\frac{BM}{PB}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{13}}}=\frac{{\sqrt{26}}}{13}$，
∴異面直線BP和AD所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{26}}}{13}$；
（2）由O，E為CA，CP中點，得OE∥AP，
且滿足OE?平面PAD，AP?平面PAD，∴OE∥平面PAD，
∴E到平面PAD的距離等于O到平面PAD的距離，
又∵${S_{△PAD}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•\sqrt{11}=\sqrt{22}，{S_{△AOD}}=\frac{1}{2}•2•2=2$，
再設O到平面PAD的距離為h，則由V_E-PAD=V_O-PAD=V_P-AOD，
可得$\frac{1}{3}•{S_{△PAD}}•h=\frac{1}{3}•{S_{△AOD}}•PO$，則$h=\frac{{3\sqrt{22}}}{11}$，
∴點E到平面PAD的距離$\frac{{3\sqrt{22}}}{11}$．

點評 本題考查空間中點線面間的距離計算，考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．