Question

9．在直角坐標系xOy 中，F，A，B 分別為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的右焦點、右頂點和上頂點，若$OF=FA，{S_{△FAB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求a的值；
（2）過點P（0，2）作直線l 交橢圓于M，N 兩點，過M 作平行于x 軸的直線交橢圓于另外一點Q，連接NQ
，求證：直線NQ 經過一個定點．

Answer 1

分析 （1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=a-c}\\{\frac{1}{2}（a-c）=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={c}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得a；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l 的方程為y=kx+2，將y=kx+2 代入橢圓方程得（3+4k²）x²+16kx+4=0，${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，直線NQ 的方程$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，由對稱性可知，若過定點，則必在y 軸上，令x=0，即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=a-c}\\{\frac{1}{2}（a-c）=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={c}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴a的值為2；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l 的方程為y=kx+2，
則Q（-x₁，y₁），
將y=kx+2 代入橢圓方程得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，
直線NQ 的方程$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，
由對稱性可知，若過定點，則必在y 軸上，
令x=0，得$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}{x_1}$，$y=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}+2=\frac{3}{2}$，
所以直線NQ 經過定點（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，直線過定點問題，屬于中檔題．