Question

設f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）內是增函數(shù)，f（-2）=0，則xf（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化即可得到結論．

解答： 解：不等式xf（x）＞0等價為

x＞0 f(x)＞0

或

x＜0 f(x)＜0

，
∵f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）內是增函數(shù)，f（-2）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)且在（0，+∞）內是增函數(shù)，f（2）=0，
但當x＞0時，不等式f（x）＞0等價為f（x）＞f（2），即x＞2，
當x＜0時，不等式f（x）＜0等價為f（x）＜f（-2），即x＜-2，
綜上x＞2或x＜-2，
故不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞），
故答案為：（-∞，-2）∪（2，+∞）

點評：本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)奇偶性的性質和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．