Question

已知圓C：x²+（y-1）²=16（圓心為C點）及點A（0，-1），Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，則點M的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據線段中垂線的性質可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半徑4，故有|MC|+|MA|=4＞|AC|，根據橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出a、b值，即得橢圓的標準方程．

解答： 解：由圓的方程可知，圓心C（0，1），半徑等于4，
設點M的坐標為（x，y ），則
∵AQ的垂直平分線交CQ于M，
∴|MA|=|MQ|．
又|MQ|+|MC|=半徑4，
∴|MC|+|MA|=4＞|AC|．
依據橢圓的定義可得，
點M的軌跡是以 A、C 為焦點的橢圓，且2a=4，c=1，∴b=

3

，
故橢圓方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
故答案為：

y2

4

+

x2

3

=1．

點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，得出|MC|+|MA|=4＞|AC|，是解題的關鍵和難點．