Question

2014年5月31日，江西宜春的高三考生柳艷兵與易征勇在客運班車上與持刀歹徒英勇搏斗的事跡．事后不久，江西某市迅速在全市高中開展了“向柳艷兵與易征勇同學學習”的宣傳活動，該市某高中就這一宣傳活動在該校師生中抽取了120人進行問卷調查，調查結果如下：

所持態度	很有必要	有必要	意義不大
人數（單位：人）	60	40	20

（1）若從這120人中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行座談，再從這6人中隨機抽取3人作進一步調查，求這3人中至少有1人態度為“很有必要”的概率；
（2）現從（1）所抽取的6人的問卷中每次抽取1份，且不重復抽取，直至確定出所有態度為“很有必要”的問卷為止，記所要抽取的次數為X，求X的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：應用題,概率與統計

分析：（1）利用認為很有必要的人有3人，認為有必要的人有2人，認為意義不大的人有1人，從這6人中隨機抽取3人進一步調查，則有20種情況，利用對立事件，由此能求出這3人中至少有1人態度為“很有必要”的概率；
（2）由題意知抽取的次數X=1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列及數學期望EX．

解答： 解：（1）若從這120人中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行座談，
則認為很有必要的人有3人，認為有必要的人有2人，認為意義不大的人有1人，
從這6人中隨機抽取3人進一步調查，則有

C

3 6

=20種情況，
∴這3人中至少有1人態度為“很有必要”的概率為1-

3

20

=

17

20

；
（2）由題意，X=3，4，5，則P（X=3）=

3×2×3

6×5×4

=

3

20

，
P（X=4）=

3×2×1×3

6×5×4×3

=

1

20

，P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=

4

5

∴X的分布列

X	3	4	5
P	3 20	1 20	4 5

EX=3×

3

20

+4×20+5×

4

5

=

87

20

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．