Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求B；
（2）若b=

3

，△ABC的周長為l，求l的最大值并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡（2a-c）cosB=bcosC，求出cosB的值，結合內角的范圍求出B；
（2）由（1）和內角和定理可得A、C的關系及A的范圍，由正弦定理求出

b

sinB

的值，代入三角形的周長l利用兩角差與和的正弦公式化簡，由A的范圍和正弦函數的性質，求出l的最大值并判斷此時△ABC的形狀．

解答： 解：（1）由題意得，（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBsinC，
2sinAcosB=sinBsinC+cosBsinC=sin（B+C）
因為A+B+C=π，所以2sinAcosB=sinA，
因為0＜A＜π，所以sinA≠0，則cosB=

1

2

，
由0＜B＜π得，B=

π

3

；
（2）由（1）得，A+C=π-B=

2π

3

，則C=

2π

3

-A，
設△ABC的外接圓的半徑為R，
又b=

3

，由正弦定理得2R=

b

sinB

=

3

sin π 3

=2，
則△ABC的周長為l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）
=2（sinA+sinC+

3

2

）=2[sinA+sin（

2π

3

-A）]+

3

=2[sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA）]+

3

=2（

3

2

sinA+

3

2

cosA）+

3

=2

3

sin(A+

π

6

)+

3

，
因為C=

2π

3

-A＞0，所以0＜A＜

2π

3

，則

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
則當A+

π

6

=

π

2

時，l取到最大值3

3

，
此時A=

π

3

，△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查正弦定理，兩角差與和的正弦公式，以及正弦函數的性質，屬于中檔題．