Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點是F₁，F(xiàn)₂，兩個頂點式A₁，A₂，過點F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段A₁A₂為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)斜率與平行的關(guān)系即可得出過焦點F₂的直線，與另一條漸近線聯(lián)立即可得到交點M的坐標(biāo)，再利用點M在以線段A₁A₂為直徑的圓內(nèi)和離心率的計算公式即可得出．

解答： 解：不妨設(shè)過點F₂與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=

b

a

（x-c），
與y=-

b

a

x聯(lián)立，可得交點M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵點M在以線段A₁A₂為直徑的圓內(nèi)，
∴

c2

4

+

b2c2

4a2

＜a²，
∴

c4

a4

＜4，
∴e⁴＜4，
∴e＜

2

，
又∵e＞1，
∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，

2

）．
故答案為：（1，

2

）

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的漸近線、離心率的計算公式、點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．