Question

已知函數f（x）=x-

1

x

+alnx-1在其定義域上為增函數
（1）求a的取值范圍；
（2）當a≥-2時，試給出零點所在的一個閉區間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，由于f（x）在其定義域（0，+∞）上為增函數，則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即有x²+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥-（x+

1

x

）_max，運用基本不等式，即可求得右邊的最大值；
（2）根據（1）的單調性，及零點存在定理，判斷f（1）＜0，f（5）＞0恒成立，即可得到零點存在的區間．

解答： 解：（1）f（x）=x-

1

x

+alnx-1（x＞0）的導數為
f′（x）=1+

1

x2

+

a

x

=

x2+1+ax

x2

，
由于f（x）在其定義域（0，+∞）上為增函數，
則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即有x²+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥-（x+

1

x

）_max，
由于x+

1

x

≥2，即有-（x+

1

x

）≤-2，
當且僅當x=1取得最大值-2．
則a≥-2；
（2）由（1）可得，當a≥-2時，f（x）在x＞0上遞增，
由于f（1）=-1＜0，
f（5）=5-

1

5

+aln5-1
=

19

5

+aln5≥

19

5

-2ln5＞0，
由零點存在定理可得，
當a≥-2時，函數f（x）的零點所在的一個區間為[1，5]．

點評：本題考查函數的導數的運用：判斷單調性，考查不等式的恒成立注意轉化為求函數的最值，考查零點存在定理及運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．