Question

設p、q∈R⁺且滿足log₉p=log₁₂q=log₁₆（p+q），求

q

p

的值．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意，利用換底公式可化得

lnp

2ln3

=

lnq

2ln2+ln3

=

ln(p+q)

4ln2

；再聯立方程組可得2lnq=ln（p+q）+ln（p+q）×

lnp

2lnq-lnp

；從而化簡得到p²+pq-q²=0，從而求值．

解答： 解：∵log₉p=log₁₂q=log₁₆（p+q），
∴

lnp

ln9

=

lnq

ln12

=

ln(p+q)

ln16

；
即

lnp

2ln3

=

lnq

2ln2+ln3

=

ln(p+q)

4ln2

；
由

lnp

2ln3

=

lnq

2ln2+ln3

得；
ln3=

2lnpln2

(2lnq-lnp)

；
代入

lnq

2ln2+ln3

=

ln(p+q)

4ln2

得，
4lnqln2=2ln（p+q）ln2+ln（p+q）×

2lnpln2

(2lnq-lnp)

；
故2lnq=ln（p+q）+ln（p+q）×

lnp

2lnq-lnp

；
2lnq=2ln（p+q）×

lnq

2lnq-lnp

；
ln（p+q）=2lnq-lnp；
從而可得，p+q=

q2

p

；
故p²+pq-q²=0，
故p=

-1± 5

2

q；
又∵p、q∈R⁺，
∴

q

p

=

5 +1

2

．

點評：本題考查了對數的運算，屬于基礎題．