Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）若對任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤

|a-b|+|b-c|

|a-c|

恒成立，求x的取值范圍；
（2）解不等式f（x）≤3x．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)|a-b|+|b-c|≥|a-c|，可得

|a-b|+|b-c|

|a-c|

≥1，再根據(jù)f（x）≤

|a-b|+|b-c|

|a-c|

恒成立，可得f（x）≤1，即|2x-1|≤1，由此求得x的范圍．
（2）不等式即|2x-1|≤3x，可得

3x≥0 -3x≤2-1≤3x

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵|a-b|+|b-c|≥|a-b+（b-c）|=|a-c|，故有

|a-b|+|b-c|

|a-c|

≥1，
再根據(jù)f（x）≤

|a-b|+|b-c|

|a-c|

恒成立，可得f（x）≤1，即|2x-1|≤1，∴-1≤2x-1≤1，求得0≤x≤1．
（2）不等式f（x）≤3x，即|2x-1|≤3x，∴

3x≥0 -3x≤2-1≤3x

，求得x≥

1

5

，
即不等式的解集為{x|x≥

1

5

}．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．