Question

設函數f（x）=|x-4|+|x-a|，x∈R．
（1）證明：當a=1時，不等式lnf（x）＞1成立；
（2）關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,絕對值不等式的解法

專題：不等式

分析：（1）由絕對值的幾何意義德|x-1|+|x-4|≥3，問題即得以證明．
（2）利用絕對值三角不等式可得f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，依題意可得|a-4|≥a，解之即可．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=|x-4|+|x-1|的最小值為3，
∴f（x）≥3＞e，所以
lnf（x）＞1成立；

（2）由絕對值的性質得
f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，
所以f（x）最小值為|a-4|，從而|a-4|≥a，解得a≤2，因此a的最大值為2．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．