Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，點A在雙曲線第一象限的圖象上，若△AF₁F₂的面積為1，且tan∠AF₁F₂=$\frac{1}{2}$，tan∠AF₂F₁=-2，則雙曲線方程為$\frac{{12{x^2}}}{5}-3{y^2}=1$．

Answer 1

分析 設A（m，n）．m＞0，n＞0．由tan∠AF₁F₂可得$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，由tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，由△AF₁F₂的面積為1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，聯立求出A的坐標，即可得出雙曲線的方程．

解答 解：設A（m，n）．m＞0，n＞0．
由tan∠AF₁F₂可得$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，
由tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，
由△AF₁F₂的面積為1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，
以上三式聯立解得：c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以A（$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），F₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），F₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
根據雙曲線定義可得2a=|AF₁|-|AF₂|=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
所以a=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，b=$\frac{1}{3}$，
所以雙曲線方程為$\frac{{12{x^2}}}{5}-3{y^2}=1$．
故答案為$\frac{{12{x^2}}}{5}-3{y^2}=1$．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生對雙曲線基礎知識的理解和靈活利用．