Question

5．已知定義域為R的函數f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函數，f（1）=-$\frac{1}{3}$．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性求出b的值，根據f（1）的值，求出a即可；
（2）根據函數單調性的定義證明即可．

解答 解：（1）因為f（x）在定義域為R上是奇函數，所以f（0）=0，
即$\frac{b-1}{1+a}$=0，解得：b=1，
又由f（1）=-$\frac{1}{3}$，即$\frac{1-2}{2+a}$=-$\frac{1}{3}$，解得：a=1，
經檢驗b=1，a=1滿足題意；                           
（2）證明：由（1）知f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$，任取x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂，
 則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因為函數y=2^x在R上是增函數且x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0
又（${2}^{{x}_{1}}$+1）（${2}^{{x}_{2}}$+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上為減函數．

點評 本題考查了函數的奇偶性和函數的單調性問題，考查單調性的證明，是一道基礎題．