Question

4．在一個(gè)盒子里裝有6張卡片，上面分別寫著如下定義域?yàn)镽的函數(shù)：
f₁（x）=x+1，f₂（x）=x²，f₃（x）=sinx，f₄（x）=log₂（$\sqrt{{x^2}+1}$+x），f₅（x）=cosx+|x|，f₆（x）=xsinx-2．
（1）現(xiàn)在從盒子中任意取兩張卡片，記事件A為“這兩張卡片上函數(shù)相加，所得新函數(shù)是奇函數(shù)”，求事件A的概率；
（2）從盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一張卡片上的函數(shù)是偶函數(shù)則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，記停止時(shí)抽取次數(shù)為ξ，寫出ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷出f_i（x）的奇偶性，進(jìn)而得出概率．
（2）利用古典概率計(jì)算公式、乘法原理可得P（ξ=k）（k=1，2，3，4），進(jìn)而得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題意得：f₃（x），f₄（x）是奇函數(shù)，
f₂（x），f₅（x），f₆（x）為偶函數(shù)，f₁（x）為非奇非偶函數(shù)，
所以P（A）=$\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$．
（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為1，2，3，4．
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}•{∁}_{5}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{2}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{3}{20}$，
P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{20}$．
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

所以Eξ=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{3}{20}$+4×$\frac{1}{20}$=$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判定、古典概率計(jì)算公式、乘法原理、隨機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．