Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的半焦距為c，直線l過（c，0），（0，b）兩點(diǎn)，若直線l與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}+1$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 由題意便知，直線l與漸近線y=$\frac{b}{a}$x垂直，而直線l的斜率可以求出，這樣根據(jù)相互垂直的直線斜率的關(guān)系即可得到-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}$=-1，通過該式解出即可．

解答 解：根據(jù)題意知，直線l與雙曲線的漸近線y=$\frac{b}{a}$x垂直；
直線l的斜率為-$\frac{b}{c}$；
∴$\frac{b}{a}•（-\frac{b}{c}）$=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}$=-1；
∴e²-e-1=0；
∵e＞1，∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 考查雙曲線漸近線的概念及求法，直線的點(diǎn)斜式方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)求直線斜率的公式，以及相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，雙曲線離心率的概念及計(jì)算公式，解一元二次方程．