Question

19．已知向量$\overrightarrow m=（{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，1-f（x）}）$，$\overrightarrow n=（{1，2+{{log}_3}x}）$，且向量$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式及函數$y=f（cos（2x-\frac{π}{3}））$的定義域；
（Ⅱ）若函數g（x）=x²-ax+1，存在a∈R，對任意${x_1}∈[{\frac{1}{27}，3}]$，總存在唯一x₀∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量共線，求出函數的解析式，化簡函數$y=f（cos（2x-\frac{π}{3}））$，然后求解函數的定義域；
（Ⅱ）求出函數f（x）的值域為[0，4]．g（x）=x²-ax+1，-1≤x≤1，對任意y∈[0，4]，總存在唯一x₀∈[-1，1]，使得y=g（x₀）以下分三種情況討論：①當$\frac{a}{2}≤-1$即a≤-2時，②當$\frac{a}{2}≥1即a≥2$時，③當$-1＜\frac{a}{2}≤1即-2＜a＜2$時，求解a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=log_3^2x+{log_3}x+1$…（2分）
$y=f（cos（2x-\frac{π}{3}））$有意義則$cos（2x-\frac{π}{3}）＞0$
∴$2kπ-\frac{π}{2}＜2x-\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈z
解得$kπ-\frac{π}{12}＜x＜kπ+\frac{5π}{12}$，定義域為$（{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}）$，k∈z…（4分）
（2）$f（x）=log_3^2x+{log_3}x+1$=$（{log_3}x+1{）^2}$，
∵$x∈[{\frac{1}{27}，3}]$，∴-3≤log₃x≤1∴函數f（x）的值域為[0，4]．…（5分）
g（x）=x²-ax+1，-1≤x≤1
由題意知：[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1，-1≤x≤1}，
且對任意y∈[0，4]，總存在唯一x₀∈[-1，1]，
使得y=g（x₀）…（7分）
以下分三種情況討論：
①當$\frac{a}{2}≤-1$即a≤-2時，則$\left\{\begin{array}{l}g{（x）_{min}}=g（-1）=2+a≤0\\ g{（x）_{max}}=g（1）=2-a≥4\end{array}\right.$，解得a≤-2；…（8分）
②當$\frac{a}{2}≥1即a≥2$時，則$\left\{\begin{array}{l}g{（x）_{max}}=g（-1）=2+a≥4\\ g{（x）_{min}}=g（1）=2-a≤0\end{array}\right.$，解得a≥2；…（9分）
③當$-1＜\frac{a}{2}≤1即-2＜a＜2$時，則$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ ϕ（1）=2-a≥4\\ ϕ（-1）=2+a≤0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ ϕ（1）=2-a≤4\\ ϕ（-1）=2+a≥0\end{array}\right.$解得a∈φ…（11分）
綜上a≥2或a≤-2…（12分）

點評 本題考查函數的應用函數的最值，向量與函數相結合，考查分類討論思想以及最后思想的應用，考查計算能力．