Question

11．已知函數f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}]$
（1）當θ=$\frac{π}{3}$時，求f（x）的最值；
（2）若f（x）在$x∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}]$上是單調函數，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函數值得到f（x），求出對稱軸，根據所給的區間，求出最值即可；
（2）需要分類討論，當cosθ=0時，不滿足條件，
當cosθ≠0，根據對稱軸求cosθ的范圍，從而求出θ的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}]$，
θ=$\frac{π}{3}$時，則cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x²+x-1，開口向上，對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]上為減函數，在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上為增函數，
∴當x=-$\frac{1}{2}$時，f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{5}{4}$，
當x=$\frac{1}{2}$時，f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{4}$；
（2）當cosθ=0時，f（x）=x²-1，在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）上到單調遞減，在[0，$\frac{1}{2}$]單調遞增，
∵f（x）在區間[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調函數，
∴cosθ=0不成立，
即cosθ≠0，
∵f（x）=x²+2xcosθ-1，x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
∴對稱軸為x=-cosθ，
∴-cosθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-cosθ≥$\frac{1}{2}$，
即cosθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或cosθ≤-$\frac{1}{2}$，
∴2kπ-$\frac{π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{2π}{3}$≤θ≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z；
又θ∈[0，2π]，
∴θ的取值范圍是[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．

點評 本題主要考查了二次函數的單調性與對稱軸問題，也考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．