Question

10．全美職業(yè)籃球聯(lián)賽（NBA）某年度總決賽在克利夫蘭騎士隊(duì)與金州勇士隊(duì)之間角逐，比賽采用七局四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)獲勝，比賽就此結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，故每場(chǎng)比賽獲勝的可能性相等．據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽組織者可獲得門票收入2000萬美元，以后每場(chǎng)比賽門票收入比上一場(chǎng)增加100萬美元．當(dāng)兩隊(duì)決出勝負(fù)后，
問：（1）組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬美元的概率為多少？
（2）某隊(duì)在比賽過程中曾一度比分（勝一場(chǎng)得1分）落后2分以上（含2分），最后取得全場(chǎng)勝利稱為“逆襲”，求騎士隊(duì)“逆襲”獲勝的概率；
（3）求此次決賽所需比賽場(chǎng)數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算比賽場(chǎng)次，再求出相應(yīng)的概率，即可求出組織者在此次決賽中要獲得門票收入不少于13500萬元的概率；
（2）若騎士隊(duì)“逆襲”獲勝，可能通過6場(chǎng)或7場(chǎng)獲勝，分類求概率，即可求出騎士隊(duì)“逆襲”獲勝的概率；
（3）所需比賽場(chǎng)數(shù)ξ是隨機(jī)變量，其取值為4，5，6，7．求出相應(yīng)的概率，即可得出決賽所需比賽場(chǎng)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)比賽場(chǎng)次為n，則組織者獲得門票收入為2000n+$\frac{n（n-1）}{2}×100$≥13500，
解得n≥6，故至少要比賽6場(chǎng)．
設(shè)事件A_i表示決賽進(jìn)行i場(chǎng)，（i=4，5，6，7）
若比賽進(jìn)行6場(chǎng)，則其中1隊(duì)在前5場(chǎng)贏了3場(chǎng)，并在第6場(chǎng)贏球，
∴P（A₆）=2×${C}_{5}^{3}$（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{2}$）²$•\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
若比賽進(jìn)行7場(chǎng)，則兩隊(duì)在前6場(chǎng)各贏3場(chǎng)，
∴P（A₇）=${C}_{6}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{5}{16}$，
∴收入不少于13500萬元的概率為$\frac{5}{16}+\frac{5}{16}$=$\frac{5}{8}$．
（2）若騎士隊(duì)“逆襲”獲勝，可能通過6場(chǎng)或7場(chǎng)獲勝．
當(dāng)6場(chǎng)獲勝時(shí)，則1、2場(chǎng)敗，3、4、5、6勝，概率為（$\frac{1}{2}$）⁶=$\frac{1}{64}$；
當(dāng)7場(chǎng)獲勝時(shí)，則4勝3敗，
①若前2場(chǎng)都敗，則另外1敗可以任意發(fā)生在第3、4、5、6中的一場(chǎng)，所以“逆襲”獲勝概率為C${\;}_{4}^{1}$•（$\frac{1}{2}$）⁷=$\frac{1}{32}$．
②若前2場(chǎng)1勝1敗，則第3、4場(chǎng)必須敗，所以“逆襲”獲勝概率為${C}_{2}^{1}•$（$\frac{1}{2}$）⁷=$\frac{1}{64}$，
故騎士隊(duì)“逆襲”獲勝的概率為$\frac{1}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$=$\frac{1}{16}$．
（3）設(shè)比賽場(chǎng)數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為4，5，6，7．
則P（ξ=4）=${C}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{8}$，P（ξ=5）=2${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{2}$）⁴$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，由（1）知P（ξ=6）=$\frac{5}{16}$，P（ξ=7）=$\frac{5}{16}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	4	5	6	7
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

∴E（ξ）=4×$\frac{1}{8}$+5×$\frac{1}{4}$+6×$\frac{5}{16}$+7×$\frac{5}{16}$=$\frac{93}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求概率是關(guān)鍵．