Question

13．給出下列命題：
①函數f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一個對稱中心為（-$\frac{5π}{12}$，0）；
②若α，β為第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，則存在實數λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$；
④在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=40，b=20，B=25°，則△ABC必有兩解．
⑤函數y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象．
其中正確命題的序號是①③④ （把你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析 由f（$-\frac{5π}{12}$）=0判斷①正確；舉例說明②錯誤；由向量關系的條件判斷③正確；根據邊角關系，判斷三角形解的個數可得④正確；由函數的圖象平移說明⑤錯誤．

解答 解：①，∵f（$-\frac{5π}{12}$）=4cos（-2×$\frac{5π}{12}+\frac{π}{3}$）=4cos$\frac{π}{2}$=0，∴函數f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一個對稱中心為（-$\frac{5π}{12}$，0），故①正確；
②，α=390°，β=60°，均為第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，故②錯誤；
③，由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，可知$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$共線反向，則存在實數λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，故③正確；
④，在△ABC中，由a=40，b=20，B=25°，可得asinB=40sin25°＜40sin30°=40×$\frac{1}{2}$=20，
即asinB＜b＜a，∴△ABC必有兩解，故④正確；
⑤，函數y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到y=sin2（x+$\frac{π}{4}$）=cos2x的圖象，故⑤錯誤．
∴正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了三角函數的性質，考查向量關系的條件，是中檔題．