Question

15．設直線y=x+2a與圓C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B兩點，若|AB|=2$\sqrt{3}$，則圓C的內接正三角形的面積為（　�。�

• A． 4
• B． 8
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 圓C：x²+y²-2ay-2=0的圓心坐標為（0，a），半徑為$\sqrt{{a}^{2}+2}$，利用圓的弦長公式，求出a值，進而求出圓半徑，可得圓C的內接正三角形的邊長，即可求出圓C的內接正三角形的面積．

解答 解：圓C：x²+y²-2ay-2=0的圓心坐標為（0，a），半徑為$\sqrt{{a}^{2}+2}$，
∵直線y=x+2a與圓C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B兩點，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圓心（0，a）到直線y=x+2a的距離d=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
即$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
解得：a²=2，
故圓的半徑r=2
∴圓C的內接正三角形的邊長為2$\sqrt{3}$，
∴圓C的內接正三角形的面積為3$\sqrt{3}$．
故選C．

點評 本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，點到直線的距離公式，難度中檔．