Question

6．已知數列{a_n}的首項a₁=3，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）寫出數列{a_n}的前5項，并歸納猜想{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）用數學歸納法證明（Ⅰ）中所猜想的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據數列的遞推關系，代值計算即可，
（Ⅱ）用數學歸納法證明：當n=1時，去證明等式成立；假設當n=k時，等時成立，用上歸納假設后，去證明當n=k+1時，等式也成立即可．

解答 解：（Ⅰ）a₁=3；a₂=2a₁+1=7；a₃=2a₂+1=15；a₄=2a₃+1=31；a₅=2a₄+1=63．
由此歸納猜想出數列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^{n+1}}-1$．
（Ⅱ）證明：當n=1時，${a_1}={2^{1+1}}-1=3$，顯然成立．
假設當n=k（k∈N*）時成立，即有${a_k}={2^{k+1}}-1$，
則${a_{k+1}}=2{a_k}+1=2×（{2^{k+1}}-1）+1={2^{k+2}}-1={2^{（k+1）+1}}-1$．
顯然，當n=k+1時也成立．
故${a_n}={2^{n+1}}-1$．

點評 本題的考點是數學歸納法，主要考查數學歸納法的第二步，在假設的基礎上，n=k+1時等式左邊增加的項，關鍵是搞清n=k時，等式左邊的規律，從而使問題得解，屬于中檔題．