Question

17．已知函數f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$（m為常數，e是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求m的值；
（2）求函數y=f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導函數，函數在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f′（1）=0，則m值可求；
（2）求出函數的定義域，然后讓導函數等于0求出極值點，借助于導函數在各區間內的符號求函數f（x）的單調區間．

解答 解：（1）因為函數f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$，
所以f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-m}{{e}^{x}}$，
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
所以f′（1）=0，即 $\frac{1-ln1-m}{e}$=0，解得m=1；
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
由f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，此函數只有一個零點1，
且當x＞1時，g（x）＜0，當0＜x＜1時，g（x）＞0，
所以當x＞1時，f′（x）＜0，所以原函數在（1，+∞）上為減函數；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以原函數在（0，1）上為增函數．
故函數f（x）的增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間．