Question

12．已知正項數列{a_n}中，a₂=6，且$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$，成等差數列，則a₁+3a₃的最小值6+8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$，成等差數列，可得：$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$=$\frac{2}{{a}_{2}+2}$=$\frac{1}{4}$，即4（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）=1，由數列{a_n}為正項數列，變形為a₁+3a₃=a₁+1+3（a₃+3）-10=4[a₁+1+3（a₃+3）]（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）-10=4$（4+\frac{3（{a}_{3}+3）}{{a}_{1}+1}+\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{3}+3}）$-10，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$，成等差數列，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$=$\frac{2}{{a}_{2}+2}$=$\frac{1}{4}$，即4（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）=1，
∵數列{a_n}為正項數列，
∴a₁+3a₃=a₁+1+3（a₃+3）-10=4[a₁+1+3（a₃+3）]（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）-10
=4$（4+\frac{3（{a}_{3}+3）}{{a}_{1}+1}+\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{3}+3}）$-10
≥$4（4+2\sqrt{\frac{3（{a}_{3}+3）}{{a}_{1}+1}•\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{3}+3}}）$-10=6+8$\sqrt{3}$，當且僅當a₁+1=$\sqrt{3}$（a₃+3）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+4時取等號．
故答案為：6+8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．