Question

5．已知f（x）=ln（$\frac{1+x}{1-x}$），若∨x∈[0，1），f（x）≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-ax，判斷g（x）的單調(diào)性，令g_min（x）≥0即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-ax=ln（$\frac{1+x}{1-x}$）-ax，x∈[0，1），則g_min（x）≥0，
g′（x）=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{1-x+1+x}{（1-x）^{2}}$-a=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-a，
∵x∈[0，1），∴$\frac{2}{1-{x}^{2}}$≥2，
（1）若a≤2，則g′（x）≥0恒成立，∴g（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（0）=0，符合題意；
（2）若a＞2，令g′（x）=0得x=$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$，
∴當(dāng)0＜x＜$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$，1）上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（$\sqrt{1-\frac{2}{a}}$）＜g（0）=0，不符合題意．
綜上，a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值計(jì)算，屬于中檔題．