Question

9．已知各項都為整數的數列{a_n}中，a₁=2，且對任意的n∈N^*，滿足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}$，a_n+2-a_n＞3×2ⁿ-1，則a₂₀₁₉被3除所得余數為2．

Answer 1

分析 ${a_{n+1}}-{a_n}＜{2^n}+\frac{1}{2}$，可得${a_{n+2}}-{a_{n+1}}＜{2^{n+1}}+\frac{1}{2}$，兩式左右兩邊分別相加得a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1，又${a_{n+2}}-{a_n}＞3×{2^n}-1$，且n∈N^*，可得${a_{n+2}}-{a_n}=3×{2^n}$，從而a₂₀₁₉=（a₂₀₁₉-a₂₀₁₇）+（a₂₀₁₇-a₂₀₁₅）…+（a₃-a₁）+a₁=2²⁰¹⁹=（3-1）²⁰¹⁹，利用二項式定理展開即可得出．

解答 解：${a_{n+1}}-{a_n}＜{2^n}+\frac{1}{2}$，所以${a_{n+2}}-{a_{n+1}}＜{2^{n+1}}+\frac{1}{2}$，
兩式左右兩邊分別相加得a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1，
又${a_{n+2}}-{a_n}＞3×{2^n}-1$，且n∈N^*，
所以${a_{n+2}}-{a_n}=3×{2^n}$，
從而a₂₀₁₉=（a₂₀₁₉-a₂₀₁₇）+（a₂₀₁₇-a₂₀₁₅）…+（a₃-a₁）+a₁
=3（2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁵+…+2）+2=$3×2×\frac{{4}^{1009}-1}{4-1}$+2=2²⁰¹⁹=（3-1）²⁰¹⁹=${3}^{2019}-{∁}_{2019}^{1}{3}^{2018}$+…+${∁}_{2019}^{2018}$•3-1
=3（3²⁰¹⁸-2019×3²⁰¹⁷+…）-3+2，
所以a₂₀₁₉被3除所得余數為2．
故答案為：2．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、二項式定理的應用、整除的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．