Question

4．（1）已知$g（x）=\sqrt{x}$，求曲線g（x）在點（4，2）處的切線方程；
（2）已知函數f（x）=x³-3x，過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．
（3）求函數f（x）=x²-x-lnx的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到切線的斜率，然后求解切線方程．
（2）設出切點坐標，求出函數的導數，利用向量相等列出方程求解即可．
（3）通過函數的導數，判斷函數的單調性，求解函數的極值點，然后求解極值即可．

解答 解：（1）∵g（x）=$\sqrt{x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴g′（4）=$\frac{1}{4}$，
∴曲線g（x）在點（4，2）處的切線方程為y-2=$\frac{1}{4}$（x-4），即y=$\frac{1}{4}$x+1；
（2）曲線方程為y=x³-3x，點A（0，16）不在曲線上，
設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足y₀=x₀³-3x₀，
因f′（x₀）=3（x₀²-1），故切線的方程為y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）．
化簡得x₀³=-8，解得x₀=-2．
所以切點為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0．
（3）∵f（x）=x²-x-lnx，x＞0，
令f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=0得x=1或x=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
又因為，當0＜x＜1時，f'（x）＜0；x＞1時，f'（x）＞0．
所以x=1時，函數f（x）有極小值f（1）=0

點評 本題考查函數的導數的應用，切線方程的求法以及函數的極值的求法，考查計算能力．