Question

12．函數f（x）=asinx+blog₂$\frac{1+x}{1-x}$+2（a，b為常數），若f（x）在（0，1）上有最小值為-4，則f（x）在（-1，0）上有（　　）

• A． 最大值8
• B． 最大值6
• C． 最大值4
• D． 最大值2

Answer 1

分析 令g（x）=asinx+blog₂$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），可得函數g（x）為（-1，1）上的奇函數．由f（x）在（0，1）上有最小值為-4，利用對稱性可得答案．

解答 解：令g（x）=asinx+blog₂$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），
∵g（-x）=asin（-x）+b$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$=-asinx-b$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$=-g（x），
∴函數g（x）為（-1，1）上的奇函數．
∵f（x）在（0，1）上有最小值為-4，且f（x）=g（x）+2．
∴g（x）在（0，1）上有最小值為-6，
則g（x）在（-1，0）上有最大值為6，
∴f（x）在（-1，0）上有最大值為8．
故選：A．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，考查奇函數的對稱性的性質，是中檔題．