Question

20．設(shè)P為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的動點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓C的焦點，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，則直線IF₁和直線IF₂的斜率之積（　　）

• A． 是定值
• B． 非定值，但存在最大值
• C． 非定值，但存在最小值
• D． 非定值，且不存在最值

Answer 1

分析 連接PI并延長交x軸于G，再由內(nèi)角平分線定理可得$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G}{P{F}_{1}}$，$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{2}G}{P{F}_{2}}$，即$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G+{F}_{2}G}{P{F}_{1}+P{F}_{2}}=\frac{c}{a}=e$，設(shè)P（x₀，y₀），I（x_I，y_I），G（x_G，0），代入橢圓方程可求出${y}_{I}=\frac{c{y}_{0}}{a+c}$，又$\frac{c-{x}_{G}}{{x}_{G}+c}=\frac{a-e{x}_{0}}{a+e{x}_{0}}$，得${x}_{G}={e}^{2}{x}_{0}$，進(jìn)一步求出$\frac{{x}_{I}-{x}_{G}}{{x}_{0}-{x}_{G}}=\frac{c}{a+c}$，得x_I=ex₀，再求出${k}_{I{F}_{1}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}+c}$，${k}_{I{F}_{2}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}-c}$，化簡直線IF₁和直線IF₂的斜率之積即可得答案．

解答 解：如圖，連接PI并延長交x軸于G，
則由內(nèi)角平分線定理可得$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G}{P{F}_{1}}$，$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{2}G}{P{F}_{2}}$，
∴$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G+{F}_{2}G}{P{F}_{1}+P{F}_{2}}=\frac{c}{a}=e$．
設(shè)P（x₀，y₀），I（x_I，y_I），G（x_G，0）．
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，∴$\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}={b}^{2}$．
∴$\frac{{y}_{I}}{{y}_{0}}=\frac{c}{a+c}$，${y}_{I}=\frac{c{y}_{0}}{a+c}$．
又$\frac{c-{x}_{G}}{{x}_{G}+c}=\frac{a-e{x}_{0}}{a+e{x}_{0}}$，得${x}_{G}={e}^{2}{x}_{0}$．
∴$\frac{{x}_{I}-{x}_{G}}{{x}_{0}-{x}_{G}}=\frac{c}{a+c}$，得x_I=ex₀．
∴${k}_{I{F}_{1}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}+c}$，${k}_{I{F}_{2}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}-c}$，
則${k}_{I{F}_{1}}•{k}_{I{F}_{2}}$==-$\frac{\frac{{c}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{（a+c）^{2}}}{{c}^{2}-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{（a+c）^{2}}•\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{（a+c）^{2}}$．
∴直線IF₁和直線IF₂的斜率之積是定值．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了內(nèi)角平分線定理的應(yīng)用，是中檔題．