Question

5．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，又sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，則sinβ=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{24}{25}$
• C． $\frac{16}{25}$
• D． $\frac{24}{25}$或$\frac{16}{25}$

Answer 1

分析 由已知分別求出cosα、sin（α+β）的值，然后利用“拆角配角”的方法分類(lèi)求出sinβ，則答案可求．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，∴$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$．
又cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+β）=$±\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}=±\frac{3}{5}$．
若sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，則sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}-（-\frac{4}{5}）×\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$；
若sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，則sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$（-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}-（-\frac{4}{5}）×\frac{3}{5}$=0（舍）．
∴sinβ=$\frac{24}{25}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是“拆角配角”思想的應(yīng)用，是中檔題．