Question

15．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f'（x），當(dāng)x≠0時(shí)，$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，若$a=\frac{1}{2}f（{\frac{1}{2}}）$，b=-2f（-2），$c=（{ln\frac{1}{2}}）f（{ln\frac{1}{2}}）$，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是a＜c＜b．

Answer 1

分析 根據(jù)式子得出F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)，利用$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，當(dāng)x＞0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＜0，判斷單調(diào)性即可證明a，b，c 的大小．

解答 解：∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x），
∴F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)，
F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵當(dāng)x≠0時(shí)，$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．
F（$\frac{1}{2}$）=a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=F（ln$\sqrt{e}$），F(xiàn)（-2）=b=-2f（-2）=F（2），F(xiàn)（ln$\frac{1}{2}$）=c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$）=F（ln2），
∵ln$\sqrt{e}$＜ln2＜2，
∴F（ln$\sqrt{e}$）＜F（ln2）＜F（2）．
即a＜c＜b．
故答案為：a＜c＜b．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，根據(jù)給出的式子，得出需要的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷即可，屬于中檔題．