Question

6．已知圓C：（x-2）²+（y-1）²=1，點P為直線x+2y-9=0上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[$\frac{12}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 設∠APB=2θ，用θ表示出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，求出θ的范圍即可得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的范圍．

解答 解：設∠APB=2θ，則PA=PB=$\frac{1}{tanθ}$，
∴當CP取得最小值時，θ取得最大值．
圓心C（2，1）到直線x+2y-9=0的距離為$\frac{|2+2-9|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，圓的半徑為r=1，
∴sinθ的最大值為$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤cosθ＜1．
∴$\frac{3}{5}$≤2cos²θ-1＜1，即$\frac{3}{5}$≤cos2θ＜1．
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$cos2θ=$\frac{1+cos2θ}{1-cos2θ}$•cos2θ，
設t=cos2θ，f（t）=$\frac{1+t}{1-t}•t$，
則f′（t）=$\frac{-{t}^{2}+2t+1}{（1-t）^{2}}$，令f′（t）=0得t=1-$\sqrt{2}$或1+$\sqrt{2}$，
∴當1-$\sqrt{2}$$＜t＜1+\sqrt{2}$時，f′（t）＞0，
∴f（t）在[$\frac{3}{5}$，1）上單調遞增，
又f（$\frac{3}{5}$）=$\frac{12}{5}$，當t→1時，f（t）→+∞，
∴f（t）≥$\frac{12}{5}$．
故答案為：[$\frac{12}{5}$，+∞）．

點評 本題考查圓的切線的性質、三角函數的二倍角公式、向量的數量積公式、基本不等式求函數的最值，屬于中檔題