Question

11．已知函數f（x）為定義在（0，+∞）上的連續可導函數，且f（x）＞xf'（x），則不等式${x^2}f（\frac{1}{x}）-f（x）＜0$的解集是（0，1）．

Answer 1

分析 令輔助函數F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求其導函數，據導函數的符號與函數單調性的關系判斷出F（x）的單調性，利用單調性判斷出，由不等式的關系，利用不等式的性質得到結論．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，（x＞0），
則F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）為定義域上的減函數，
由不等式x²f（$\frac{1}{x}$）-f（x）＜0，
得：$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}$＜$\frac{f（x）}{x}$，
∴$\frac{1}{x}$＞x，∴0＜x＜1，
故答案為：（0，1）．

點評 本題考查了導數的運算，考查了利用導數研究函數單調性，函數的導函數符號確定函數的單調性：當導函數大于0時，函數單調遞增；導函數小于0時，函數單調遞減．此題為中檔題．