Question

10．已知函數$f（x）=（1-tanx）[1+\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）]$求
（1）函數f（x）的定義域和值域；
（2）若$f（\frac{α}{2}）=\frac{8}{5}，f（\frac{π+2β}{4}）=\frac{24}{13}$，其中$α∈（0，\frac{π}{2}），β∈（-\frac{π}{2}，0）$，求$f（\frac{α+β}{2}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數的基本關系，兩角和差的三角公式，正切函數的定義域，求得f（x）的定義域和值域．
（2）由題意利用同角三角函數的基本關系，兩角和差的三角公式，求得$f（\frac{α+β}{2}）$的值．

解答 解：（1）根據函數 $f（x）=（1-tanx）[1+\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）]$=（1-tanx）•[1+$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）]
=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x），要使tanx有意義，x≠kπ+$\frac{π}{2}$，故函數的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$ }．
再根據f（x）=$\frac{cosx-sinx}{cosx}$•（2sinxcosx+2cos²x）=2（cos²x-sin²x）=2cos2x，
可得它的值域為[-2，2]．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=2cosα=$\frac{8}{5}$，∴cosα=$\frac{4}{5}$；f（$\frac{π+2β}{4}$）=2cos（$\frac{π}{2}$+β）=-2sinβ=$\frac{24}{13}$，∴sinβ=-$\frac{12}{13}$．
∵$α∈（0，\frac{π}{2}），β∈（-\frac{π}{2}，0）$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$，
∴$f（\frac{α+β}{2}）$=2cos（α+β）=2cosαcosβ-2sinαsinβ=2•$\frac{4}{5}•\frac{5}{13}$-2•$\frac{3}{5}•（-\frac{12}{13}$）=$\frac{112}{65}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和差的三角公式、正切函數的定義域，屬于基礎題．