Question

13．設數列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=1，2S_n=na_n+1-$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 證明：對一切正整數n，有$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$2{S_n}=n{a_{n+1}}-\frac{{n（{n+1}）（{n+2}）}}{3}$…①當n≥2時，$2{S_{n-1}}=（{n-1}）{a_n}-\frac{{（{n-1}）n（{n+1}）}}{3}$…②
由①-②，得 2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
可得數列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$從第二項起是公差為1的等差數列，即可求數列通項．
（Ⅱ）當n≥3時，∵n²＞（n-1）•（n+1），∴$\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{{（{n-1}）•（{n+1}）}}$
$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…\frac{1}{{a}_{n}}$＜$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）$
=$\frac{5}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）$
=$\frac{5}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=\frac{5}{3}+\frac{1}{2}（{-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）＜\frac{5}{3}$即可．

解答 解：（Ⅰ）由$2{S_n}=n{a_{n+1}}-\frac{{n（{n+1}）（{n+2}）}}{3}$…①
    當n≥2時，$2{S_{n-1}}=（{n-1}）{a_n}-\frac{{（{n-1}）n（{n+1}）}}{3}$…②
由①-②，得 2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1）∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，
∴數列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$從第二項起是公差為1的等差數列．
∴當n=1時，$2{a_1}=2{S_1}={a_2}-\frac{1}{3}-1-\frac{2}{3}={a_2}-2$，
又a₁=1，∴a₂=4
∴$\frac{a_n}{n}=2+1×（{n-2}）=n$，∴${a_n}={n^2}（{n≥2}）$當n=1時，上式顯然成立．∴${a_n}={n^2}，n∈{N^*}$
（Ⅱ）證明：由（2）知，${a_n}={n^2}，n∈{N^*}$①當n=1時，$\frac{1}{a_1}=1＜\frac{5}{3}$，∴原不等式成立．②當n=2時，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1+\frac{1}{4}＜\frac{5}{3}$，∴原不等式亦成立．
③當n≥3時，∵n²＞（n-1）•（n+1），∴$\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{{（{n-1}）•（{n+1}）}}$
$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…\frac{1}{{a}_{n}}$＜$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）$
=$\frac{5}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）$
=$\frac{5}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=\frac{5}{3}+\frac{1}{2}（{-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）＜\frac{5}{3}$
∴當n≥3時，∴原不等式亦成立．綜上，對一切正整數n，有$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了數列遞推式、通項公式，考查了數列求和及放縮法，屬于中檔題．