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5.已知函數f(x)=x2+alnx
(1)當a=-1時,求函數的單調區間和極值
(2)若f(x)在[1,+∞)上是增函數,求實數a的取值范圍.

分析 (1)先求出函數的導數,得出f′(x),從而判斷函數的單調性和極值,
(2)由f′(x)=2x+$\frac{a}{x}$,且f(x)在[1,+∞)上是單調增函數,解不等式從而求出a的范圍.

解答 解:(1)a=-1時:f(x)=x2-lnx,(x>0),
∴f′(x)=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$,
令f′(x)>0,解得:x>$\frac{\sqrt{2}}{2}$,令f′(x)<0,解得:0<x<$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴f(x)在(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)遞減,在($\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞)上單調遞增,
∴f(x)的極小值是f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\frac{1}{2}$(1+ln2);
(2)∵f′(x)=2x+$\frac{a}{x}$,
若f(x)在[1,+∞)上是單調增函數,
則:f′(1)=2+a≥0,
∴a≥-2.

點評 本題考察了函數的單調性,極值問題,導數的應用問題,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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