Question

5．已知函數f（x）=x²+alnx
（1）當a=-1時，求函數的單調區間和極值
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的導數，得出f′（x），從而判斷函數的單調性和極值，
（2）由f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，且f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，解不等式從而求出a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時：f（x）=x²-lnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上單調遞增，
∴f（x）的極小值是f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
（2）∵f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，
若f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，
則：f′（1）=2+a≥0，
∴a≥-2．

點評 本題考察了函數的單調性，極值問題，導數的應用問題，是一道中檔題．