Question

5．定義在R上的函數f（x）使不等式${f^'}（2x）＞\frac{ln2}{2}f（2x）$恒成立，其中f'（x）是f（x）的導數，則（　　）

• A． $\frac{f（2）}{f（0）}＞2，\frac{f（0）}{{f（{-2}）}}＞2$
• B． f（2）＞2f（0）＞4f（-2）
• C． $\frac{f（2）}{f（0）}＜2，\frac{f（0）}{{f（{-2}）}}＜2$
• D． f（2）＜2f（0）＜4f（-2）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（2x）}{{2}^{x}}$，求出函數的單調性，從而求出函數值的大小即可．

解答 解：構造函數g（x）=$\frac{f（2x）}{{2}^{x}}$
∴g′（x）=$\frac{{2}^{x}（2f′（2x）-ln2f（2x））}{{2}^{2x}}$，
∵${f^'}（2x）＞\frac{ln2}{2}f（2x）$恒成立，
∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在R上為增函數，
∴g（1）＞g（0）＞g（-1），
∴$\frac{f（2）}{2}$＞$\frac{f（0）}{{2}^{0}}$＞$\frac{f（-2）}{{2}^{-1}}$，
∴f（2）＞2f（0）＞4f（-2），
故選：B

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造函數g（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．