Question

17．設函數f（x₀）=ae^xlnx+$\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線為y=e（x-1）+2．
（Ⅰ）求a，b； 
（Ⅱ）證明：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出a，b的值即可；
（Ⅱ）問題等價于$xlnx＞x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，設函數g（x）=xlnx，設函數$h（x）=x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（Ⅰ） 函數f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=a{e^x}lnx+\frac{a}{x}{e^x}-\frac{x^2}{e^{x-1}}+\frac{x}{e^{x-1}}$，
由題意可得f（1）=2，f'（1）=e，
故a=1，b=2…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，?$f（x）={e^x}lnx+\frac{{2{e^{x-1}}}}{x}$，
從而f（x）＞1等價于$xlnx＞x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，
設函數g（x）=xlnx，則g'（x）=1+lnx，
所以當$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$時，g'（x）＜0，
當$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$時，g'（x）＞0，
故g（x）在$（{0，\frac{1}{e}}）$單調遞減，在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$單調遞增，
從而g（x）在（0，+∞）的最小值為$g（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．…（8分）
設函數$h（x）=x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，則h'（x）=e^-x（1-x），
所以當x∈（0，1）時，h'（x）＞0，
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0，
故h（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，
從而h（x）在（0，+∞）的最大值為$h（1）=-\frac{1}{e}$．
綜上：當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查轉化思想，是一道中檔題．