Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A，B兩點的任意一點，且AB=2，$PA=BC=\sqrt{3}$，則二面角A-BC-P的大小為（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A為原點，在平面ABC內過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BC-P的大小．

解答 解：∵AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A，B兩點的任意一點，
且AB=2，$PA=BC=\sqrt{3}$，
∴AC⊥BC，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
以A為原點，在平面ABC內過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，1$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角A-BC-P的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴二面角A-BC-P的大小為60°，
故選：C．

點評 本題考查二面角的大小的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．