Question

13．已知直線l為曲線y=x²+x-2在點（1，0）處的切線，m為該曲線的另一條切線，且l⊥m
（1）求直線m的方程
 （2）求直線l、m和x軸所圍成的三角形面積．

Answer 1

分析 （1）欲求直線m的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合l⊥m即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先通過解方程組得直線l和m的交點的坐標和l、m與x軸交點的坐標，最后根據三角形的面積公式教育處所求三角形的面積即可．

解答 解：（1）y′=2x+1，y′|_x=1=3，
故切線方程是：y=3（x-1），
即直線l的方程為y=3x-3．
設直線m過曲線y=x²+x-2上的點B（b，b²+b-2），
則m的方程為y-（b²+b-2）=（2b+1）（x-b）
因為ml，則有k_m=2b+1=-$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{2}{3}$．
所以直線m的方程為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{22}{9}$．
（2）解方程組 $\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y=-\frac{1}{3}x-\frac{22}{9}}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{6}}\\{y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線m和l的交點的坐標為（$\frac{1}{6}$，-$\frac{5}{2}$）．
l、m與x軸交點的坐標分別為（1，0）、（-$\frac{22}{3}$，0）．
所以所求三角形的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{3}$×|-$\frac{5}{2}$|=$\frac{125}{12}$．

點評 本小題主要考查導數的幾何意義，兩條直線垂直的性質以及分析問題和綜合運算能力．本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．