Question

16．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點P對應的參數為t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t為參數）距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的平方關系式，消去參數求出普通方程即可．
（2）求出P的坐標，設出橢圓上的點的坐標，求出中點M，代入曲線方程，利用點到直線的距離公式求解即可．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數），消去t可得（x+4）²+（y-3）²=1，曲線是圓，圓心（-4，3）半徑為1．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．消去θ可得：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示橢圓焦點坐標在x軸，長半軸的長為8，短半軸的長為3．
（2）點P對應的參數為t=$\frac{π}{2}$，代入曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數），
可得P（-4，4），Q為C₂上的動點，
Q（8cosθ，3sinθ），M（-2+4cosθ，2+$\frac{3}{2}$sinθ），直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，
點M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t為參數）距離：d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ-3sinθ-13|，
當cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$-\frac{3}{5}$時，d取得最小值為：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查曲線的參數方程的應用，點到直線的距離公式的應用，考查計算能力．