Question

已知函數f（x）=sinωxcosωx+

3

cos2ωx-

3

2

（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）試說明由正弦曲線y=sinx如何變換得到函數f（x）的圖象．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=sin(2ωx+

π

3

)，從而根據周期公式可求得ω的值，從而得到解析式，即可求出單調遞增區間；
（Ⅱ）將正弦曲線y=sinx的圖象向左平移

π

3

，得到函數y=sin（x+

π

3

）的圖象，再將所得圖象橫坐標縮小為原來的

1

2

，即可得函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象．

解答： 解：（I）f(x)=sinωxcosωx+

3

cos2ωx-

3

2

(ω＞0)=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin(2ωx+

π

3

)…（3分）
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0．
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1，…（4分）
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z…（5分）
得f（x）的增區間為[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)…（6分）
（II）將正弦曲線y=sinx的圖象向左平移

π

3

，得到函數y=sin（x+

π

3

）的圖象，再將所得圖象橫坐標縮小為原來的

1

2

，即可得函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，正弦函數的圖象和性質，考查了三角函數的圖象變換理論，屬于基本知識的考查．