Question

已知α∈(0，

π

2

)，且tan(α+

π

4

)=3，則log₅（sinα+2cosα）+log₅（3sinα+cosα）=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數,對數的運算性質,三角函數的化簡求值

專題：計算題,三角函數的求值

分析：由tan(α+

π

4

)=

tanα+1

1-tanα

=3，可解得tanα=

1

2

，故有log₅（sinα+2cosα）+log₅（3sinα+cosα）=log5

3sin2α+7sinαcosα+2cos2α

sin2α+cos2α

=1．

解答： 解：∵利用兩角和的正切公式得tan(α+

π

4

)=

tanα+1

1-tanα

=3，
∴tanα=

1

2

，
∴log₅（sinα+2cosα）+log₅（3sinα+cosα）
=log5

3sin2α+7sinαcosα+2cos2α

sin2α+cos2α

=log5

3tan2α+7tanα+2

tan2α+1

=log₅5
=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了兩角和與差的正切函數公式的應用，考查了對數的運算性質，屬于基本知識的考查．