Question

13．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，向量$\overrightarrow a=（{{S_n}，1}）$，$\overrightarrow b=（{{2^n}-1，\frac{1}{2}}）$，滿足條件$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1-b_n=1，c_n=$\frac{b_n}{a_n}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由向量共線的坐標運算可得數列遞推式，由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由已知可得數列{b_n}是等差數列，求其通項公式，代入c_n=$\frac{b_n}{a_n}$，利用錯位相減法求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（{{S_n}，1}）$，$\overrightarrow b=（{{2^n}-1，\frac{1}{2}}）$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}={2}^{n}-1$，即${S}_{n}={2}^{n+1}-2$．
當n=1時，a₁=S₁=2；
當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}$．
a₁=2適合上式，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）∵b₁=1，b_n+1-b_n=1，
∴b_n=1+1×（n-1）=n，
則c_n=$\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式作差得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
∴${T}_{n}=2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查向量共線的坐標表示，考查等差數列通項公式的求法，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．