Question

5．等比數列{a_n}前n項和${S_n}=a+{（-\frac{1}{3}）^n}$，n∈N^*，則$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+{a_5}+…+{a_{2n-1}}）$=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據等比數列{a_n}的前n項和推知a₁和q，然后根據求和公式進行計算并求極限．

解答 解：∵等比數列{a_n}前n項和為S_n=a+（-$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*，
∴a_n=S_n-S_n-1=a+（-$\frac{1}{3}$）ⁿ-a+（-$\frac{1}{3}$）^n-1=-$\frac{4}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴a₁=-$\frac{4}{3}$，q=-$\frac{1}{3}$
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，為首項-$\frac{4}{3}$，公比為$\frac{1}{9}$的等比數列，
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=$\frac{-\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{9}^{n}}）}{1-\frac{1}{9}}$=-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$），
∴$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+{a_5}+…+{a_{2n-1}}）$=$\underset{lim}{n→∞}$（-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$）=-$\frac{3}{2}$
故答案為：$-\frac{3}{2}$

點評 本題考查數列的前2n項中奇數項和的極限的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．