Question

15．如圖，已知正三棱柱ABC-A'B'C'棱長均為2，E為AB中點．點D在側棱BB'上．
（Ⅰ）求AD+DC'的最小值；
（Ⅱ）當AD+DC'取最小值時，在CC'上找一點F，使得EF∥面ADC'．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將三棱柱的側面展開，由題意知當D為BB′中點時，AD+DC′最小，由此能求出AD+DC′的最小值．
（Ⅱ）過點E作EM∥AD交BB′于M，M為BD中點，過點M作MF∥DC′交CC′于F，由面MEF∥面ADC′，得EF∥面ADC′．

解答 解：（Ⅰ）如圖，將三棱柱的側面展開，
由題意知當D為BB′中點時，AD+DC′最小，
最小值為d=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$．（4分）
（Ⅱ）過點E作EM∥AD交BB′于M，所以M為BD中點，（6分）
過點M作MF∥DC′交CC′于F，
∴${C}^{′}F=\frac{1}{2}$，（10分）
∵EM∩MF=M，
∴面MEF∥面ADC′，∴EF∥面ADC′．（12分）

點評 本題考查兩線段和的最小值的求法，考查使直線與平面平行的點的位置的確定，空間問題轉化為平面問題是解題關鍵，是中檔題．